Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 5 / 15 du parcours

Les carrés magiques

Les carrés magiques : des grilles où toutes les lignes, colonnes et diagonales ont la même somme. Légende chinoise, gravure de Dürer et carré 3 × 3 à compléter.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Calcul mental : les astuces , L’addition et la soustraction

Dans un carré magique, chaque ligne, colonne et diagonale donne la même somme.

Regarde cette grille : $4 + 9 + 2 = 15$ , $4 + 3 + 8 = 15$ , et même la diagonale $4 + 5 + 6 = 15$ ! Les 8 sommes valent 15.

Ça ressemble à un tour de magie… et ça fascine les humains depuis plus de 2 000 ans.

Qu’est-ce qu’un carré magique ?

Carré magique

Un carré magique est une grille carrée remplie de nombres (en général 1, 2, 3… sans répétition) telle que la somme de chaque ligne, de chaque colonne et des deux diagonales soit la même. Cette somme s’appelle la constante magique.

Le plus célèbre est un carré 3 × 3 rempli avec les nombres de 1 à 9 :

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Vérifie : $4 + 9 + 2 = 15$ , $9 + 5 + 1 = 15$ , $4 + 5 + 6 = 15$ … Les 8 sommes valent toutes 15.

La tortue du fleuve Luo

Une légende chinoise raconte qu’il y a très longtemps, lors d’une terrible crue, une tortue sortit du fleuve Luo devant l’empereur Yu le Grand. Sur sa carapace, des points dessinaient un étrange motif : c’était ce carré 3 × 3 ! On l’appelle depuis le Lo Shu (« l’écrit de la rivière Luo »). Les plus anciens textes qui le décrivent ont environ 2 000 ans.

Les carrés magiques voyagent ensuite vers l’Inde, le monde arabe puis l’Europe. En 1514, le peintre allemand Albrecht Dürer en cache un, de taille 4 × 4, dans sa célèbre gravure Melencolia I. Malin, il s’arrange pour que les deux cases du milieu de la dernière ligne forment… 15 et 14, l’année de la gravure ! Plus tard, le savant américain Benjamin Franklin s’amusera lui aussi à en inventer de gigantesques pendant des réunions qu’il trouvait ennuyeuses.

À toi de jouer !

Complète la grille avec les nombres de 1 à 9 manquants. Les sommes s’affichent en direct à droite (lignes), en bas (colonnes) et sous la grille (diagonales) : elles deviennent vertes quand elles valent 15. Coincé ? Un indice commence par la case du centre…

Les secrets du carré 3 × 3

La constante magique

Pour un carré de côté $n$ rempli avec les nombres de 1 à $n^2$ , la constante magique vaut :

S = \frac{n \times (n^2 + 1)}{2}

Pour $n = 3$ : $S = \frac{3 \times 10}{2} = 15$ . Pour $n = 4$ : $S = \frac{4 \times 17}{2} = 34$ . Pour $n = 5$ : $S = 65$ .

D’où vient cette formule ? Les nombres de 1 à 9 ont pour somme $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ . Les 3 lignes se partagent ce total équitablement : chaque ligne vaut donc $45 \div 3 = 15$ .

Pourquoi le 5 est forcément au centre— facultatif, à sauter en première lecture

Regarde les 4 lignes qui passent par le centre : la ligne du milieu, la colonne du milieu et les deux diagonales. Elles valent 15 chacune, donc ensemble $4 \times 15 = 60$ .

Mais en les additionnant, on a compté toutes les cases une fois, sauf le centre, compté 4 fois. Donc $60 = 45 + 3 \times \text{centre}$ , soit $3 \times \text{centre} = 15$ et centre = 5.

On peut continuer : les nombres pairs (2, 4, 6, 8) vont forcément dans les coins. Au final, il n’existe qu’un seul carré magique 3 × 3 avec les nombres de 1 à 9… à rotations et symétries près (ce qui en fait 8 versions).

Compléter un carré pas à pas

On connaît trois cases : en haut à gauche 2, en haut au milieu 7, et au centre 5. Complétons.

Ligne du haut : $2 + 7 + ? = 15$ , donc la case en haut à droite vaut 6.
Diagonale : $2 + 5 + ? = 15$ , donc en bas à droite 8.
Colonne du milieu : $7 + 5 + ? = 15$ , donc en bas au milieu 3.
Ligne du bas : $? + 3 + 8 = 15$ , donc en bas à gauche 4.
Colonne de gauche : $2 + ? + 4 = 15$ , donc 9 ; ligne du milieu : $9 + 5 + ? = 15$ , donc 1.

Résultat : 2 7 6 / 9 5 1 / 4 3 8. Vérifie la dernière diagonale : $6 + 5 + 4 = 15$ ✔

Attention

Un carré où seules les lignes et les colonnes ont la même somme n’est pas magique : il faut aussi les deux diagonales. Et on n’utilise chaque nombre qu’une seule fois.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Le jeu du 15, un morpion déguisé : deux joueurs choisissent à tour de rôle un nombre de 1 à 9 ; le premier qui possède trois nombres dont la somme fait 15 gagne. Placés sur le carré magique, ces trios sont exactement les 8 alignements du morpion ! Connaître le carré, c’est jouer au morpion en cachette.
Le Sudoku : chaque ligne, colonne et bloc d’une grille 9 × 9 contient les chiffres 1 à 9, donc a pour somme 45. C’est un cousin des carrés magiques, appelé carré latin, étudié par Euler dès le XVIII^e siècle.
En agriculture et en science : pour tester 4 engrais sans être trompé par un coin de champ plus ensoleillé, les agronomes découpent le champ en 4 × 4 parcelles et placent chaque engrais une fois par ligne et une fois par colonne (un carré latin, encore lui).
En comptabilité : dans un tableau de dépenses, la somme des totaux des lignes doit être égale à la somme des totaux des colonnes. Si l’on trouve 1 250 € d’un côté et 1 205 € de l’autre, on sait qu’il y a une erreur (sans doute deux chiffres inversés) !
En casse-tête et en jeux vidéo : de nombreux jeux d’énigmes cachent des carrés magiques pour ouvrir un coffre ou une porte… maintenant tu sais les résoudre en partant du centre.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quelle est la constante magique d’un carré 3 × 3 rempli avec les nombres de 1 à 9 ?
Dans un carré magique 3 × 3 avec les nombres de 1 à 9, quel nombre est toujours au centre ?
Dans un carré magique 3 × 3, une ligne contient 8 et 1. Quel est le troisième nombre ?
Quelle est la constante magique d’un carré 4 × 4 rempli avec les nombres de 1 à 16 ?
Quel artiste a caché un carré magique daté de 1514 dans une gravure ?
Au jeu du 15, tu as déjà 2 et 9. Quel nombre te ferait gagner ?

Qu’est-ce qu’un carré magique ?

À toi de jouer !

Les secrets du carré 3 × 3

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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