Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 9 / 15 du parcours

Le paradoxe des anniversaires

Le paradoxe des anniversaires : dans une classe de 23 élèves, il y a plus d’une chance sur deux que deux soient nés le même jour. Explication et simulation.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Premières notions de probabilités

Dès 23 personnes, deux anniversaires le même jour, c’est plus probable que non !

Pari : dans ta classe de 25 élèves, deux personnes fêtent leur anniversaire le même jour. Avec 365 jours dans l’année, ça paraît très improbable, non ?

Pourtant, accepte le pari : tu as environ 57 % de chances de gagner ! C’est le célèbre paradoxe des anniversaires.

50 %100 %2360personnes

Le paradoxe en une phrase

Le paradoxe des anniversaires

Dans un groupe de 23 personnes, la probabilité qu’au moins deux d’entre elles aient le même jour d’anniversaire dépasse 50 % (elle vaut environ 50,7 %).

Avec 30 personnes, elle atteint environ 71 % ; avec 57 personnes, 99 %.

Ce n’est pas un vrai paradoxe (rien de contradictoire), mais un résultat qui surprend presque tout le monde. Notre intuition nous joue un tour : on pense à « quelqu’un qui a mon anniversaire », alors que la question porte sur n’importe quelle paire de personnes du groupe.

Vérifie toi-même

La courbe montre la probabilité selon le nombre de personnes. Règle le curseur sur 23, puis clique sur « Simuler une classe » : chaque point du calendrier est l’anniversaire d’un élève tiré au hasard, et les jours partagés apparaissent en rouge. Pour vraiment convaincre les sceptiques, lance 1 000 classes d’un coup !

Deux anniversaires le même jour ?

Pourquoi c’est si probable ?

Le secret, c’est le nombre de paires. Avec 23 personnes, chacune peut se comparer aux 22 autres, ce qui fait 23×222=253\frac{23 \times 22}{2} = 253 paires possibles. Autant de « chances » de coïncidence ! Avec 253 paires, il n’est plus si étonnant qu’une d’elles tombe juste.

Le calcul avec 3 amis

Léa, Hugo et Sami comparent leurs anniversaires (on ignore le 29 février et on suppose les 365 jours également probables). On calcule d’abord la probabilité que tous soient différents :

  1. Léa peut être née n’importe quel jour : 365365\frac{365}{365}.
  2. Hugo doit éviter le jour de Léa : 364365\frac{364}{365}.
  3. Sami doit éviter les deux jours déjà pris : 363365\frac{363}{365}.

Probabilité que tous soient différents : 365365×364365×363365≈0,9918\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0{,}9918.

Donc la probabilité d’au moins un anniversaire commun vaut 1−0,9918=0,00821 - 0{,}9918 = 0{,}0082, soit environ 0,8 %.

La formule générale— facultatif, à sauter en première lecture

Pour un groupe de nn personnes, on continue la même idée : la kk-ième personne doit éviter les k−1k - 1 jours déjà pris. La probabilité qu’aucun anniversaire ne soit partagé est :

qn=365365×364365×363365×⋯×365−n+1365q_n = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{365 - n + 1}{365}

et la probabilité d’au moins un anniversaire commun est pn=1−qnp_n = 1 - q_n. Passer par l’événement contraire (« tous différents ») est bien plus simple que de compter tous les cas « deux pareils, trois pareils, deux paires… ». Pour n=23n = 23, la calculatrice donne q23≈0,493q_{23} \approx 0{,}493, donc p23≈0,507p_{23} \approx 0{,}507.

Ne confonds pas les deux questions
  • « Deux personnes quelconques du groupe ont le même anniversaire » : 50 % dès 23 personnes.
  • « Quelqu’un a le même anniversaire que moi » : c’est beaucoup plus rare ! Il faut environ 253 autres personnes pour avoir une chance sur deux.
Un problème né en 1939… et vérifié en Coupe du monde

Le problème est souvent attribué au mathématicien autrichien Richard von Mises, qui le publie en 1939 alors qu’il enseigne à Istanbul. Il est vite devenu un classique des cours de probabilités, justement parce qu’il bouscule l’intuition.

En 2014, des journalistes de la BBC ont eu l’idée de le tester grandeur nature avec les 32 équipes de la Coupe du monde de football au Brésil. Chaque équipe comptait exactement 23 joueurs… le nombre magique ! Résultat : 16 équipes sur 32 avaient au moins deux joueurs nés le même jour. Exactement une sur deux, comme prévu par les maths.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Dans le sport : dans une équipe de rugby de 23 joueurs (titulaires et remplaçants), il y a environ une chance sur deux que deux joueurs fêtent leur anniversaire le même jour. De quoi partager le gâteau !
  • Pour les codes et les identifiants : si 118 personnes choisissent au hasard un code à 4 chiffres (10 000 possibilités), il y a déjà environ 50 % de risques que deux aient le même. C’est pour ça que les identifiants informatiques sont souvent très longs.
  • En cybersécurité : les informaticiens appellent « attaque des anniversaires » une méthode qui exploite ce paradoxe pour trouver deux fichiers ayant la même « empreinte numérique ». Pour s’en protéger, ces empreintes ont des centaines de bits.
  • Dans ta playlist : si ton appli pioche chaque morceau au hasard parmi 100, sans éviter ceux déjà joués, tu as environ une chance sur deux d’entendre une chanson en double dès le 12e morceau. C’est pour ça que les vrais modes « aléatoires » mélangent la liste au lieu de tirer au sort à chaque fois.
  • Face aux coïncidences : en septembre 2009, la loterie bulgare a tiré deux fois de suite exactement les mêmes six numéros, à quelques jours d’écart. Choquant ? Avec des milliers de loteries dans le monde depuis des décennies, des coïncidences de ce genre finissent forcément par arriver quelque part.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. À partir de combien de personnes la probabilité d’avoir deux anniversaires le même jour dépasse-t-elle 50 % ?

  2. Avec 23 personnes, combien de paires différentes peut-on former ?

  3. Avec 57 personnes, la probabilité d’un anniversaire commun est d’environ…

  4. Combien de personnes faut-il au minimum pour être certain que deux ont le même anniversaire (sans compter le 29 février) ?

  5. Deux amis comparent leurs anniversaires. Quelle est la probabilité (en %, arrondie au dixième) qu’ils soient nés le même jour ?

  6. Lors de la Coupe du monde 2014 (32 équipes de 23 joueurs), combien d’équipes avaient deux joueurs nés le même jour ?

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