Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 10 / 15 du parcours

La conjecture de Syracuse

La conjecture de Syracuse : pair, on divise par 2 ; impair, on fait 3n + 1. Un jeu d’enfant que personne n’a su résoudre. Vol des nombres animé.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les nombres pairs et impairs

Pair : divise par 2. Impair : fois 3, plus 1. On finit toujours à 1 ?

Pars de 6 : il est pair, donc 3. Impair : 3×3+1=103 \times 3 + 1 = 10. Puis 5, 16, 8, 4, 2… et 1 ! Un crayon et deux minutes suffisent.

Tous les nombres essayés finissent par tomber sur 1. Mais personne n’a jamais réussi à le prouver.

63105168421× 3 + 1÷ 2

La règle du jeu

La suite de Syracuse

On part d’un entier n≥1n \geq 1, puis on applique sans fin la règle :

  • si le nombre est pair, on le divise par 2 ;
  • si le nombre est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1.

On s’arrête quand on atteint 1 (après, on tournerait en rond : 1 → 4 → 2 → 1).

Essayons avec 6 : 6→3→10→5→16→8→4→2→16 \to 3 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1. Arrivé ! Le nombre est monté jusqu’à 16 avant de redescendre.

La conjecture de Syracuse

Quel que soit l’entier de départ, la suite finit toujours par atteindre 1.

C’est une conjecture : un énoncé que l’on croit vrai, vérifié sur d’innombrables exemples, mais que personne n’a encore démontré.

Le vol d’un nombre

Les mathématiciens aiment comparer la suite au vol d’un objet qui monte, redescend, remonte… avant d’atterrir sur 1. On parle de :

  • durée de vol : le nombre d’étapes pour atteindre 1 ;
  • altitude maximale : la plus grande valeur atteinte.

Clique sur les nombres proposés ou tape le tien, puis « Décoller ». Commence par 7, puis essaie 27 : accroche-toi !

Le vol d’un nombre

Le nombre 27 est spectaculaire : il vole pendant 111 étapes et grimpe jusqu’à 9 232 avant de redescendre. Pourtant son voisin 26 atterrit en seulement 10 étapes. Et 871 détient le record de durée de vol parmi les nombres inférieurs à 1 000 : 178 étapes.

Le vol de 7, étape par étape
  1. 7 est impair : 3×7+1=223 \times 7 + 1 = 22.
  2. 22 est pair : 22÷2=1122 \div 2 = 11. Puis 11 est impair : 3×11+1=343 \times 11 + 1 = 34.
  3. On continue : 34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→134 \to 17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1.

Bilan : durée de vol 16, altitude maximale 52.

Les puissances de 2, l’autoroute vers 1

Dès que tu tombes sur une puissance de 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64…), c’est gagné : on divise par 2 jusqu’à 1 sans plus jamais monter. Beaucoup de vols finissent d’ailleurs par 16→8→4→2→116 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1.

Pourquoi est-ce si difficile ?— facultatif, à sauter en première lecture

Après une étape « impaire », 3n+13n + 1 est toujours pair (impair × 3 = impair, et impair + 1 = pair). Donc juste après, on divise forcément par 2 : en deux étapes, le nombre est multiplié par environ 32\frac{3}{2}.

Les étapes « paires », elles, divisent par 2. Si pair et impair arrivaient « au hasard » à peu près aussi souvent, chaque montée × 1,5 serait en moyenne compensée par plus d’une descente ÷ 2, et le nombre aurait tendance à diminuer. Ce raisonnement explique pourquoi la conjecture semble vraie… mais les nombres ne sont pas vraiment « au hasard ». Pour démontrer qu’aucun nombre ne s’envole à l’infini ni ne tourne dans une autre boucle, il faudrait contrôler une infinité de trajectoires toutes différentes. Et pour l’instant, personne n’a trouvé comment.

Une énigme qui fait perdre leur temps aux génies

Le problème est attribué à l’Allemand Lothar Collatz, qui l’aurait formulé vers 1937. Dans les années 1950, son collègue Helmut Hasse le fait circuler à l’université de Syracuse, aux États-Unis, d’où son nom en France. On l’appelle aussi « problème de Collatz » ou « problème 3n + 1 ».

Il est si addictif que, selon une anecdote racontée par le mathématicien Shizuo Kakutani, toute l’université de Yale s’y est mise pendant un mois… sans résultat. On a même plaisanté que c’était un complot pour freiner la recherche américaine ! Le célèbre Paul Erdős a résumé la situation : « Les mathématiques ne sont peut-être pas encore prêtes pour de tels problèmes. » En 2019, le mathématicien Terence Tao a prouvé que « presque tous » les nombres finissent par descendre très bas… mais « presque tous », ce n’est pas « tous ».

Attention

Vérifier des milliards d’exemples ne prouve rien ! Les ordinateurs ont testé tous les nombres jusqu’à environ 3×10203 \times 10^{20} sans trouver d’exception, mais un contre-exemple pourrait exister encore plus loin. En maths, seule une démonstration permet d’affirmer « pour tout nombre ».

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

  • Apprendre à programmer : la suite de Syracuse est un grand classique des cours d’informatique au collège et au lycée. En 5 lignes de Python ou de Scratch (une boucle « tant que », un test « si pair »), ton ordinateur calcule le vol de 27 en une fraction de seconde.
  • Mesurer la puissance de calcul : vérifier la conjecture jusqu’à 268≈3×10202^{68} \approx 3 \times 10^{20}, à raison d’un milliard de nombres par seconde, prendrait environ 9 000 ans avec un seul processeur. Les chercheurs ont dû inventer des raccourcis astucieux et faire travailler des milliers de machines.
  • Comprendre le chaos : 26 atterrit en 10 étapes, 27 en 111. Un tout petit changement au départ donne une trajectoire complètement différente : c’est aussi ce qui rend la météo difficile à prévoir au-delà de quelques jours.
  • Gagner une fortune (peut-être) : en 2021, une entreprise japonaise a promis 120 millions de yens (environ un million de dollars à l’époque) à qui démontrerait la conjecture. L’offre attend toujours son gagnant…

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

  1. Quel nombre suit 13 dans la suite de Syracuse ?

  2. Tu programmes la suite de Syracuse sur ton ordinateur et tu lances le calcul depuis 27. Combien de fois la boucle applique-t-elle la règle avant d’atteindre 1 ?

  3. Quelle est la durée de vol de 6 (6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1) ?

  4. Quelle est l’altitude maximale du vol de 15 ? (15 → 46 → 23 → 70 → 35 → …)

  5. La conjecture de Syracuse est-elle démontrée ?

  6. Un ordinateur teste 1 milliard de nombres par seconde. Combien de secondes lui faut-il pour en tester 60 milliards ?

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