Constructions à la règle et au compas
Constructions à la règle et au compas : médiatrice, bissectrice et hexagone régulier pas à pas, d’Euclide à Gauss, avec une animation de chaque étape.
📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le cercle , Les angles , Droites parallèles et perpendiculaires
Avec une règle sans graduations et un compas, on trace des figures parfaites.
Un compas, une règle sans graduations, un crayon. Pas de rapporteur, pas de mesure, pas de calculatrice.
Pourtant, deux arcs de cercle suffisent pour couper un segment pile en deux. On peut aussi partager un angle ou tracer un hexagone parfait : un jeu vieux de plus de 2 300 ans !
Les règles du jeu
On n’a le droit qu’à deux gestes :
- avec la règle (non graduée) : tracer une droite passant par deux points déjà construits ;
- avec le compas : tracer un cercle de centre un point construit, et dont le rayon est une distance entre deux points construits.
Les nouveaux points sont les intersections des droites et des cercles tracés.
Pourquoi s’imposer ces contraintes ? Parce qu’une construction est exacte : aucune erreur de lecture sur une règle graduée, aucun arrondi. Si le dessin est fait à la règle et au compas, le résultat est parfait « en théorie ».
Vers 300 av. J.-C., à Alexandrie, Euclide écrit les Éléments, un des livres les plus recopiés de l’histoire. Sa toute première construction ? Un triangle équilatéral, avec deux coups de compas. Les Grecs se lancent alors trois défis : construire un carré de même aire qu’un disque (la « quadrature du cercle »), couper n’importe quel angle en trois, et doubler le volume d’un cube. Ils échouent… et les savants suivants aussi, pendant plus de 2 000 ans !
En 1796, un étudiant allemand de 18 ans, Carl Friedrich Gauss, découvre comment construire un polygone régulier à 17 côtés, ce que personne n’avait imaginé possible. Il en est si fier qu’il décide de devenir mathématicien. Enfin, on prouve que les trois défis grecs sont impossibles : le Français Pierre-Laurent Wantzel pour le cube et l’angle en 1837, l’Allemand Ferdinand von Lindemann pour la quadrature du cercle en 1882, grâce à une propriété du nombre π.
L’atelier : trois constructions animées
Choisis une construction, puis avance étape par étape pour voir chaque coup de compas se tracer. Prends en même temps ton propre compas et une feuille : refaire la figure, c’est le meilleur moyen de la retenir !
La médiatrice d’un segment
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à qui passe par son milieu. Tout point de la médiatrice est à égale distance de et de (et réciproquement).
Voilà pourquoi la construction marche : les deux arcs tracés avec le même écartement depuis et depuis se coupent en des points et situés à la même distance de et de . Ils sont donc sur la médiatrice, et deux points suffisent pour tracer une droite.
La mairie veut installer un banc à égale distance de deux arbres, l’un en , l’autre en , distants de 12 m.
- Sur le plan, on trace la médiatrice de à la règle et au compas.
- Tous les points de cette droite conviennent ! Le plus proche des arbres est le milieu de , à 6 m de chacun.
- Si l’on veut le banc à 10 m de chaque arbre, on trace un arc de rayon 10 m (à l’échelle) depuis : il coupe la médiatrice en deux points possibles, un de chaque côté de l’allée.
La bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le partage en deux angles égaux. Chacun de ses points est à égale distance des deux côtés de l’angle.
Pourquoi la construction de la bissectrice est exacte— facultatif, à sauter en première lecture
Dans la construction, on a (même coup de compas depuis ) et (même écartement depuis et ). Les triangles et ont donc leurs trois côtés égaux deux à deux : , , et le côté est commun.
Deux triangles dont les trois côtés sont égaux ont aussi les mêmes angles (ils sont « superposables »). Donc l’angle est égal à l’angle : la demi-droite coupe bien l’angle en deux parts égales. Pas besoin de rapporteur, la logique suffit !
L’hexagone régulier
Dans un cercle de rayon , si l’on reporte six fois au compas le long du cercle, on retombe exactement sur le point de départ. Les six points forment un hexagone régulier de côté , et donc de périmètre .
La raison : en reliant le centre à deux points voisins, on obtient un triangle dont les trois côtés valent , donc équilatéral, avec des angles de 60°. Et : le tour est complet !
Pendant une construction, ne touche pas à l’écartement du compas quand l’énoncé dit « même écartement ». Pour la médiatrice, l’écartement doit être plus grand que la moitié de , sinon les arcs ne se croisent pas.
À quoi ça sert dans la vraie vie ?
- Retrouver le centre d’un objet rond : sur un fragment d’assiette ancienne, les archéologues tracent deux cordes et leurs médiatrices. Elles se coupent au centre de l’assiette entière, ce qui donne son diamètre : par exemple 24 cm pour une assiette dont on n’a retrouvé qu’un morceau de 8 cm.
- Choisir un emplacement équitable : pour placer une antenne ou une caserne de pompiers à égale distance de trois villages, on trace les médiatrices du triangle formé par les villages ; elles se croisent en un seul point, le bon emplacement.
- En menuiserie : pour assembler un cadre photo, on coupe les baguettes selon la bissectrice de l’angle droit, à 45°. Les deux morceaux se rejoignent alors parfaitement en formant 90°.
- Hexagones partout : les écrous, les nids d’abeilles, les carreaux de sol… Pour dessiner un carreau hexagonal de 10 cm de côté, il suffit d’un cercle de rayon 10 cm : le carreau aura 60 cm de périmètre.
- Architecture et logos : les rosaces des cathédrales gothiques et beaucoup de logos modernes sont dessinés à partir de cercles, de médiatrices et de polygones réguliers construits exactement ainsi.