Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 2 / 15 du parcours

La suite de Fibonacci et le nombre d’or

La suite de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8…) et le nombre d’or φ ≈ 1,618 : des lapins de 1202 aux tournesols, avec une spirale animée.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les racines carrées

Chaque nombre est la somme des deux précédents : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

Compte les spirales au cœur d’un tournesol : souvent 34 dans un sens et 55 dans l’autre. Sur une pomme de pin : 8 et 13. Sur un ananas : 8, 13 et 21.

Pas de hasard : tous ces nombres appartiennent à la suite de Fibonacci.

La suite de Fibonacci : la règle du jeu

La suite de Fibonacci

On commence par 1 et 1. Ensuite, chaque nombre est la somme des deux précédents :

1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ 144,\ \ldots

Par exemple, $8 + 13 = 21$ , puis $13 + 21 = 34$ .

C’est tout ! Une règle d’une ligne, et pourtant cette suite apparaît dans la nature, dans l’art, en informatique… et même dans les escaliers.

Une histoire de lapins

En 1202, un marchand de Pise, Leonardo, surnommé Fibonacci (« fils de Bonacci »), publie le Liber abaci, un livre qui fait découvrir aux Européens les chiffres indo-arabes 0, 1, 2… 9. Parmi ses exercices, une énigme : un couple de lapins donne naissance chaque mois à un nouveau couple, et chaque nouveau couple devient fertile au bout d’un mois. Combien de couples au bout d’un an ? Mois après mois, on compte 1, 2, 3, 5, 8, 13… et on arrive à 377 couples.

Fibonacci n’est pourtant pas le premier : des savants indiens comme Virahanka (vers le VII^e siècle) puis Hemachandra (vers 1150) avaient déjà trouvé ces nombres… en comptant les rythmes possibles des vers en poésie ! Le nom « suite de Fibonacci » ne date que des années 1870 : on le doit au mathématicien français Édouard Lucas.

Une spirale qui cache le nombre d’or

Dessinons des carrés dont les côtés suivent la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8… On les accole en tournant, et chaque nouveau carré s’appuie sur les deux précédents. En traçant un quart de cercle dans chaque carré, une jolie spirale apparaît.

Clique sur « Carré suivant » (ou sur « Animer ») et surveille le rapport entre les deux derniers côtés : 2/1, 3/2, 5/3, 8/5… il se rapproche d’un nombre bien précis.

Le nombre d’or

En divisant un terme de la suite de Fibonacci par le précédent, on se rapproche de plus en plus du nombre d’or, noté $\varphi$ (« phi ») :

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618

Par exemple : $\frac{89}{55} \approx 1{,}6182$ et $\frac{144}{89} \approx 1{,}6180$ .

Pourquoi justement 1,618… ?— facultatif, à sauter en première lecture

Appelons $L$ le nombre vers lequel se rapprochent les quotients. Comme $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ , on a :

\frac{F_{n+1}}{F_n} = 1 + \frac{F_{n-1}}{F_n} = 1 + \frac{1}{F_n / F_{n-1}}

Quand $n$ devient grand, les deux quotients valent presque $L$ , donc $L = 1 + \frac{1}{L}$ . En multipliant par $L$ : $L^2 = L + 1$ , soit $L^2 - L - 1 = 0$ . La solution positive de cette équation est $L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ : c’est le nombre d’or ! Petite curiosité : $\varphi^2 \approx 2{,}618 = \varphi + 1$ .

Le nombre d’or est bien plus ancien que Fibonacci : vers 300 av. J.-C., Euclide l’étudie déjà sous le nom de « partage en extrême et moyenne raison ». L’expression « nombre d’or », elle, ne s’est répandue qu’au XIX^e et au XX^e siècle.

Exemples pas à pas

L’escalier de Fibonacci

Tu montes un escalier en faisant des pas d’une ou de deux marches. De combien de façons peux-tu monter 5 marches ?

Pour 1 marche : 1 façon. Pour 2 marches : 2 façons (1+1 ou 2).
Pour arriver à la marche $n$ , ton dernier pas part soit de la marche $n-1$ , soit de la marche $n-2$ . Donc le nombre de façons est la somme des deux précédents.
3 marches : $1 + 2 = 3$ ; 4 marches : $2 + 3 = 5$ ; 5 marches : $3 + 5 = 8$ .

Il y a 8 façons. Pour un escalier de 10 marches, on en trouverait 89 !

Retrouver un terme

Les termes de la suite sont 34 et 55. Quel est le suivant ? Et le précédent ?

Suivant : $34 + 55 = 89$ .
Précédent : on fait la soustraction, $55 - 34 = 21$ (et en effet $21 + 34 = 55$ ).

Méfie-toi des légendes

On lit partout que le Parthénon, la Joconde ou les pyramides suivent « parfaitement » le nombre d’or. En réalité, ces affirmations sont très discutées : selon l’endroit où l’on mesure, on trouve à peu près n’importe quel rapport ! Les spirales des tournesols et des pommes de pin, en revanche, ont été vérifiées par des milliers d’observations.

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Pour convertir les miles en kilomètres : 1 mile ≈ 1,609 km, très proche de $\varphi$ ! Deux termes consécutifs de la suite font donc une conversion express : 5 miles ≈ 8 km, 8 miles ≈ 13 km, 13 miles ≈ 21 km. Pratique pour lire les panneaux en Angleterre.
Chez les plantes : beaucoup de plantes placent chaque nouvelle feuille ou graine environ 137,5° plus loin que la précédente (c’est « l’angle d’or », lié à $\varphi$ ). Résultat : les graines du tournesol se serrent au maximum sans se gêner, d’où les spirales de 34 et 55.
En informatique et en gestion de projet : de nombreuses équipes estiment la difficulté d’une tâche avec les cartes 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 (le « planning poker »). Les écarts grandissent, comme notre incertitude sur les grosses tâches.
Pour l’énergie solaire : des chercheurs se sont inspirés de la spirale du tournesol pour disposer les miroirs d’une centrale solaire, et ont montré qu’on pouvait ainsi gagner de la place au sol sans perdre d’énergie.
En photo et en design : un rectangle « d’or » de 16,18 cm sur 10 cm sert parfois de modèle pour cadrer une image ou une page, même si d’autres proportions marchent tout aussi bien.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Quel est le nombre qui suit dans la suite : 8, 13, 21, 34, … ?
Le nombre d’or φ vaut environ :
En quelle année Fibonacci publie-t-il le Liber abaci et son problème des lapins ?
De combien de façons peux-tu monter un escalier de 6 marches avec des pas d’une ou deux marches ?
Un panneau anglais indique 21 miles. Avec l’astuce de Fibonacci, cela fait environ combien de kilomètres ?
Que vaut 144 ÷ 89, arrondi au millième ?

La suite de Fibonacci : la règle du jeu

Une spirale qui cache le nombre d’or

Exemples pas à pas

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

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