Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 1 / 15 du parcours

Le nombre π (pi)

Le nombre π raconté simplement : 4 000 ans de chasse aux décimales, la méthode d’Archimède en animation, et à quoi sert pi dans la vraie vie.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Le cercle , Périmètre et aire du disque

Le tour d’un cercle mesure toujours un peu plus de 3 fois son diamètre : π.

Enroule une ficelle autour d’une pièce, d’une roue de vélo ou d’un couvercle, puis compare-la au diamètre.

Surprise : c’est toujours environ 3,14 fois plus long. Ce nombre célèbre s’appelle π (« pi »).

Qu’est-ce que le nombre π ?

Le nombre π

Pour n’importe quel cercle, le périmètre divisé par le diamètre donne toujours le même nombre. On l’appelle π :

\pi = \frac{\text{périmètre}}{\text{diamètre}} \approx 3{,}14159

Que le cercle soit grand comme une pièce de 1 € ou comme l’équateur de la Terre, le rapport ne change pas. C’est ça qui est fascinant : π ne dépend de rien, c’est une constante de l’Univers.

Ses décimales ne s’arrêtent jamais et ne se répètent jamais : 3,14159 26535 89793 23846… On dit que π est irrationnel : aucune fraction ne lui est exactement égale. Les fractions $\frac{22}{7}$ ou $\frac{355}{113}$ ne sont que de (très bonnes) approximations.

4 000 ans de chasse aux décimales

Une course de 4 000 ans

Il y a près de 4 000 ans, des scribes de Babylone utilisaient déjà $3 + \frac{1}{8} = 3{,}125$ pour les cercles. Vers 1650 av. J.-C., le papyrus égyptien Rhind calcule l’aire d’un disque avec une méthode qui revient à prendre $\pi \approx 3{,}16$ .

Puis, vers 250 av. J.-C., le Grec Archimède de Syracuse a une idée de génie : coincer le cercle entre deux polygones dont il sait calculer le périmètre. Avec des polygones à 96 côtés, calculés entièrement à la main, il prouve que $3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}$ .

Au V^e siècle, en Chine, Zu Chongzhi trouve 7 décimales justes et la fraction $\frac{355}{113}$ — un record qui tiendra près de mille ans. La lettre grecque π, elle, n’apparaît qu’en 1706 sous la plume du Gallois William Jones, et c’est le grand Leonhard Euler qui la rend populaire. Aujourd’hui, des ordinateurs ont calculé plus de cent mille milliards de décimales !

La méthode d’Archimède en animation

Voici le cercle de diamètre 1 : son périmètre vaut exactement π. Le polygone bleu est à l’intérieur (son périmètre est plus petit que π), le polygone orange est à l’extérieur (son périmètre est plus grand). π est donc coincé entre les deux.

Bouge le curseur ou clique sur « × 2 côtés » pour refaire le chemin d’Archimède : 6, 12, 24, 48, puis 96 côtés. Regarde l’écart fondre !

Avec 6 côtés, l’hexagone intérieur a un périmètre de 3 exactement (six côtés égaux au rayon, soit 0,5). Avec 96 côtés, tu obtiens π entre 3,1410 et 3,1427. Archimède, lui, annonçait un encadrement à peine plus large (entre 3,1408 et 3,1429), car il arrondissait prudemment ses racines carrées.

Pourquoi les formules du widget marchent— facultatif, à sauter en première lecture

Le cercle a pour rayon $\frac{1}{2}$ . Coupe le polygone inscrit à $n$ côtés en $n$ triangles isocèles depuis le centre : l’angle au centre de chacun vaut $\frac{360°}{n}$ . Un côté mesure alors $2 \times \frac{1}{2} \times \sin\left(\frac{180°}{n}\right)$ , donc le périmètre vaut $n \sin\left(\frac{180°}{n}\right)$ .

Pour le polygone circonscrit, le même raisonnement avec la tangente donne $n \tan\left(\frac{180°}{n}\right)$ . Archimède n’avait ni sinus ni calculatrice : il a enchaîné des racines carrées à la main, en doublant le nombre de côtés à chaque fois. Un sacré travail de patience !

Les formules du cercle avec π

À retenir

Pour un cercle de rayon $r$ (et de diamètre $d = 2r$ ) :

\text{Périmètre} = \pi \times d = 2 \pi r \qquad \text{Aire du disque} = \pi r^2

Combien de tours fait la roue ?

La roue d’un vélo a un diamètre de 70 cm. Combien de tours fait-elle sur 1 km ?

En un tour, le vélo avance du périmètre de la roue : $\pi \times 70 \approx 219{,}9$ cm, soit environ 2,2 m.
1 km = 1 000 m, donc le nombre de tours est $1\,000 \div 2{,}199 \approx 455$ .

La roue fait environ 455 tours par kilomètre.

Pizza moyenne ou grande ?

Une pizza de 30 cm de diamètre coûte 10 €, une de 40 cm coûte 16 €. Laquelle est la plus avantageuse ?

Aire de la petite : rayon 15 cm, $\pi \times 15^2 \approx 707$ cm², soit $10 \div 707 \approx 0{,}014$ € par cm².
Aire de la grande : rayon 20 cm, $\pi \times 20^2 \approx 1\,257$ cm², soit $16 \div 1\,257 \approx 0{,}013$ € par cm².

La grande est (un peu) plus avantageuse : elle a presque deux fois plus de pizza pour seulement 60 % de plus.

Attention

π n’est pas égal à 3,14 : c’est seulement une valeur approchée. Dans un calcul, écris « ≈ » dès que tu remplaces π par 3,14, ou utilise la touche π de ta calculatrice.

Retenir les décimales de π

Une phrase célèbre en français donne les décimales grâce au nombre de lettres de chaque mot : « Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages ! » → 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5. Et chaque 14 mars (3/14 en notation américaine), les fans de maths fêtent le « jour de π ».

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Au compteur de vélo : le capteur compte les tours de roue. Pour une roue de 70 cm de diamètre, il multiplie chaque tour par $\pi \times 0{,}7 \approx 2{,}2$ m. Si tu te trompes de taille de roue dans les réglages, toutes tes distances sont fausses !
En athlétisme : sur une piste, les virages sont des demi-cercles. Le couloir 8 est plus éloigné du centre que le couloir 1 : sur un 400 m, il faut décaler les départs de plusieurs dizaines de mètres pour que tout le monde parcoure la même distance.
À la NASA : pour guider les sondes spatiales, les ingénieurs utilisent π avec seulement 15 décimales. C’est largement suffisant : pour un cercle de 25 milliards de kilomètres de diamètre, l’erreur sur son périmètre serait inférieure à un centimètre.
En cuisine : un moule rond de 24 cm de diamètre a une surface de $\pi \times 12^2 \approx 452$ cm². Pour un moule de 28 cm, il faut environ $\pi \times 14^2 \approx 616$ cm², soit à peu près 36 % de pâte en plus.
Dans les jeux vidéo et les animations : faire tourner un personnage, une roue ou une planète, c’est calculer des angles et des cercles… avec π à chaque image.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Le nombre π est égal à…
Quelle affirmation est vraie ?
Avec des polygones de combien de côtés Archimède a-t-il encadré π ?
Une roue de trottinette a un diamètre de 20 cm. Quelle distance (en cm, arrondie à l’unité) parcourt-elle en un tour ?
Une table ronde a un rayon de 50 cm. Quelle est son aire, arrondie au cm² ?
En quelle année la lettre π a-t-elle été utilisée pour la première fois pour ce nombre ?