Pour tous 🏛️ Curiosités et histoire des maths Étape 3 / 15 du parcours

Le binaire et les bases de numération

Le binaire expliqué simplement : compter avec des 0 et des 1 comme un ordinateur, avec des lampes à allumer, et découvrir les bases 10, 2, 16 et 60.

📚 Avant de commencer, il faut savoir : Les puissances , La division euclidienne

En binaire, on écrit tous les nombres avec seulement deux chiffres : 0 et 1.

Ton téléphone ne connaît que deux chiffres : 0 et 1. Courant ou pas de courant, lampe éteinte ou allumée.

Pourtant, il sait tout écrire : 13 s’écrit 1101, car $8 + 4 + 1 = 13$ . C’est le binaire.

Notre base 10 : dix chiffres, des paquets de dix

Quand tu écris 365, tu utilises sans y penser la base 10 : 3 centaines, 6 dizaines, 5 unités.

365 = 3 \times 100 + 6 \times 10 + 5 \times 1 = 3 \times 10^2 + 6 \times 10^1 + 5 \times 10^0

Chaque rang vaut 10 fois le rang à sa droite. Pourquoi 10 ? Très probablement parce que nous avons… dix doigts !

Le binaire : tout avec 0 et 1

L’écriture binaire (base 2)

En base 2, on n’utilise que les chiffres 0 et 1, et chaque rang vaut 2 fois le rang à sa droite : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Par exemple : $1101_2 = 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = 13$ .

Le petit 2 en indice rappelle qu’on lit en base 2.

Un chiffre binaire s’appelle un bit, et un paquet de 8 bits forme un octet. C’est exactement ce que montrent les 8 lampes ci-dessous.

Clique sur les lampes pour les allumer (1) ou les éteindre (0), puis appuie sur « Compter tout seul » : observe comme la lampe de droite clignote à chaque fois, celle d’à côté deux fois moins vite, et ainsi de suite.

À retenir

Pour lire un nombre binaire, on additionne les valeurs des rangs où il y a un 1.
Avec 8 bits (un octet), on peut écrire $2^8 = 256$ nombres différents : de 0 à 255.
Ajouter un bit double le nombre de possibilités.

De Leibniz aux ordinateurs

En 1703, le philosophe et mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz publie, en français, une Explication de l’arithmétique binaire. Il est ravi : tout s’écrit avec seulement 0 et 1 ! Un missionnaire en Chine, Joachim Bouvet, lui fait remarquer que les 64 figures du Yi Jing, un très ancien livre chinois, ressemblent à ses nombres binaires à 6 chiffres.

Pendant plus de deux siècles, le binaire reste une curiosité… jusqu’à l’arrivée des circuits électriques, où « 1 = courant, 0 = pas de courant » est idéal. En 1948, l’ingénieur américain Claude Shannon fonde la théorie de l’information et popularise le mot bit (de binary digit, « chiffre binaire »), proposé par son collègue John Tukey.

Et d’autres bases ont existé bien avant : les Babyloniens comptaient en base 60 il y a plus de 4 000 ans, les Mayas en base 20… et notre « quatre-vingts » en garde une trace !

Passer du décimal au binaire

Écrire 45 en binaire, méthode des paquets

On cherche les puissances de 2 qui « rentrent » dans 45, de la plus grande à la plus petite :

64 est trop grand. 32 rentre : il reste $45 - 32 = 13$ .
16 est trop grand. 8 rentre : il reste $13 - 8 = 5$ .
4 rentre : il reste 1. Puis 2 ne rentre pas, et 1 rentre : il reste 0.

Donc $45 = 32 + 8 + 4 + 1$ et, rang par rang (32, 16, 8, 4, 2, 1) : $45 = 101101_2$ .

La méthode des divisions par 2— facultatif, à sauter en première lecture

On peut aussi diviser par 2 encore et encore, en notant les restes :

$45 = 2 \times 22 + \mathbf{1}$ , $22 = 2 \times 11 + \mathbf{0}$ , $11 = 2 \times 5 + \mathbf{1}$ , $5 = 2 \times 2 + \mathbf{1}$ , $2 = 2 \times 1 + \mathbf{0}$ , $1 = 2 \times 0 + \mathbf{1}$ .

On lit les restes du bas vers le haut : $101101_2$ . Pourquoi ça marche ? Le premier reste dit si le nombre est pair ou impair : c’est le chiffre des unités. Diviser par 2 décale tout d’un rang vers la droite, et on recommence. La même méthode marche dans n’importe quelle base : en base 16, on divise par 16.

Les autres bases autour de toi

La base 16 (hexadécimal) : utilisée par les informaticiens, avec 16 chiffres : 0 à 9 puis A (10), B (11)… F (15). Un octet tient en 2 chiffres hexadécimaux : $255 = \text{FF}$ .
La base 60 (sexagésimale) : héritée de Babylone, elle sert encore pour l’heure et les angles : 60 secondes dans une minute, 60 minutes dans une heure.

Un chrono en base 60

Le chronomètre d’une course affiche 3 725 secondes. Combien d’heures, de minutes et de secondes ?

$3\,725 = 60 \times 62 + 5$ : 62 minutes et 5 secondes.
$62 = 60 \times 1 + 2$ : 1 heure et 2 minutes.

Résultat : 1 h 02 min 05 s. Tu viens de convertir en base 60 !

Attention

« 10 » ne veut pas toujours dire dix ! En binaire, $10_2 = 2$ ; en base 16, $10_{16} = 16$ . D’où la blague d’informaticien : « Il y a 10 sortes de personnes : celles qui comprennent le binaire, et les autres. »

À quoi ça sert dans la vraie vie ?

Les couleurs de ton écran : chaque pixel mélange du rouge, du vert et du bleu, chacun codé sur un octet (de 0 à 255). Cela fait $256 \times 256 \times 256 = 16\,777\,216$ couleurs possibles. Le code couleur #FF8000 signifie rouge 255, vert 128, bleu 0 : un bel orange.
Dans les jeux vidéo : dans le jeu Pac-Man (1980), le numéro du niveau était stocké sur un seul octet. Arrivé au niveau 256, le compteur « déborde » et la moitié de l’écran devient un fouillis de symboles : c’est le célèbre écran du niveau 256.
Sur Internet : une adresse IP classique (IPv4) comme 192.168.1.1 est faite de 4 octets, soit 32 bits : $2^{32} \approx 4{,}3$ milliards d’adresses… ce qui n’a pas suffi pour tous les appareils du monde !
Avec tes doigts : doigt levé = 1, doigt baissé = 0. Avec une seule main, tu peux compter de 0 à $2^5 - 1 = 31$ , et avec les deux mains jusqu’à 1 023.
Pour lire l’heure : un film de 135 minutes dure $135 = 2 \times 60 + 15$ , soit 2 h 15 min. C’est de la base 60 au quotidien.

🎯 Quiz : vérifie ce que tu as compris

Que vaut le nombre binaire 1010₂ en décimal ?
Quel est le plus grand nombre qu’on peut écrire avec 8 bits ?
Comment s’écrit 19 en binaire ?
Qui a publié une explication de l’arithmétique binaire en 1703 ?
Une vidéo dure 200 minutes. Cela fait 3 heures et combien de minutes ?
En comptant en binaire avec les 10 doigts de tes deux mains, jusqu’à quel nombre peux-tu aller ?